6.5 傅里叶级数

1．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：

$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$


（3）$\displaystyle f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．

2．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）

3．对于 $\displaystyle n=0,1, \cdots$ ，令 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos n x \mathrm{~d} x, b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x$ 。（1）计算 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 的值；（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}=\frac{2 \pi^{2}}{3}$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，在 $\displaystyle [-\pi, \pi)$ 上 $\displaystyle f(x)=x$ 。（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数收玫但不一致收玫；（3）给出 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的和函数．

5．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ 1,0 \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数，并问该级数收敛吗？收敛于 $\displaystyle f(x)$吗？在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上是否一致收敛？为什么？

6．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和
（1）$\displaystyle f(x)=\pi-|x|,(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，并计算 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\pi-x, x \in[-\pi, 0), \\ \pi+x, x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$

7．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，求出该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的和。并问该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上是否一致收敛于它的和函数？为什么？

8．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-x, x \in[0, \pi]$ ．（1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开成正弦级数；（2）写出和函数；（3）该级数在 $\displaystyle [0, \pi]$ 是否一致收敛？

9．将下列函数展成正弦级数或余弦级数，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=x, x \in[0, \pi)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}$ ．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x, x \in[0,1)$ 展成余弦级数．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 和 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}(\pi-1) x, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \pi-x, 1<x \leqslant \pi\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上展开成正弦级数，试求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n-1}$ ，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n}{n}\right)^{2}$ ．
（4）将函数 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（5）将函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x<\pi$ 上展开为正弦级数及余弦级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in(0, \pi)$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求该级数的和函数．

10．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+2$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$的和．
（2）将函数 $\displaystyle f(x)=x+2,0 \leqslant x \leqslant 1$ 展开成周期为 2 的余弦级数级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=x-1,(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展成周期为 4 的余弦级数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数，在 $\displaystyle [0,2]$ 上函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0,1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．

11．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ ，进一步证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$

及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（4）求函数 $\displaystyle f(x)=4 x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ 的傅里叶级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（5）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的傅里叶级数展开式，并求和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）将函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[-1,0) \\ x^{2}, x \in[0,1)\end{array}\right.$ 展开为傅里叶级数，并由此计算数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（7）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{\pi-x}{2}\right)^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．

12．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,(-\pi \leqslant x<\pi)$ ，的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1}$ ．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 的正弦级数展开式．

13．设 $\displaystyle a$ 为不是整数的实参数，计算函数 $\displaystyle \cos a x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的三角级数展开式；并由此证明恒等式：$\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{x-n \pi}+\frac{1}{x+n \pi}\right), x \neq m \pi, m \in \mathbf{Z}$ 。

14．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+\sin ^{2} \pi x$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{a x}, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 的和．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{\pi}-\mathrm{e}^{-\pi}},-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数的 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{2}+1}$ 和．

15．设 $\displaystyle f(x) \in C[0, \pi]$ ，且对任意的正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 为常数函数．

16．设周期为 $\displaystyle 2 \pi$ 的可积函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 与 $\displaystyle \phi(x)$ 满足关系式：$\displaystyle \varphi(-x)=-\phi(x)$ ，则给出函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 与函数 $\displaystyle \phi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \alpha_{n}, \beta_{n}$ 之间的关系。

17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：$\displaystyle f(x+\pi)=-f(x)$ ，问此函数在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数满足什么特性。

18．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin n x$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的正弦级数，求 $\displaystyle B_{n}$ ．

19．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的有界变差函数，求证：$\displaystyle a_{n}, b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 连续且满足 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f(x)$ 有分段连续的导函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足：$\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的有 $\displaystyle k$ 阶导数的函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足： $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上有连续的一阶导数，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶系数，证明：存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n},\left|b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}(n \geqslant 1)$ ．

20．证明下列结论．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：

$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．

21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数。

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，令 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 。试用函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 表示函数 $\displaystyle F(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{B_{n}\right\}$ ，并证明：
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．

22．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上按段光滑，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots)$ 与 $\displaystyle b_{n}(n=1,2, \cdots)$

为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)$ 收玫；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数绝对收玫，且在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设实函数 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[0, \pi]$ ，令 $\displaystyle C_{n}=\int_{0}^{\pi} f(x) \cos (n x) \mathrm{d} x, n=1,2,3, \cdots$ ．证明：$\displaystyle \left|\sum_{n=1}^{+\infty} C_{n}\right|<+\infty$ 。
（3）设 $\displaystyle f \in C^{1}[0, \pi], f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上按段光滑，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：

$$
\int_{0}^{\pi}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{\pi}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x . \text {. }
$$

（4）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(R)$ ，周期为 $\displaystyle L(\dot{L}>0), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0, L]$ 上按段光滑，且 $\displaystyle \int_{0}^{L} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，利用 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶展开式证明： $\displaystyle \int_{0}^{L}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x \geqslant \frac{4 \pi^{2}}{L^{2}} \int_{0}^{L}(f(x))^{2} d x$ ．

23．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，其傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \dot{x}+b_{n} \sin n x\right)$ 处处收玫．证明：其傅里叶级数处处收玫于 $\displaystyle \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ ．

24．设存在一区间 $\displaystyle [a, b]$ 使得两个傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 和 $\displaystyle \frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha_{n} \cos n x+\beta_{n} \sin n x\right)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫，并且其和函数在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且相等，问对于任意自然数 $\displaystyle n, a_{n}=\alpha_{n}, b_{n}=\beta_{n}$ 是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什么条件后能保证成立，说

明理由．

25．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Riemann 可积函数且以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期．证明：$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 具有相同的傅里叶系数的充要条件是 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．

26．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的可积函数，应如何延拓 $\displaystyle f(x)$ 到 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 才能使其在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数具有形式 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (2 n-1) x$ 。南航 2013，西安交大 1999）

27．证明函数系 $\displaystyle \{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 是 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正交系。又对 $\displaystyle f(x)=x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，应如何延拓到 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ ，才能使 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数恰为按函数系 $\displaystyle \{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 的展开式？求此展开式，并作出延拓到 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的图形．